目录
0 写在前面的一些内容
0.1 学习心得：
0.2 参考其他书籍总结的知识点，对照学习
1 线性方程组求解
1.1 常见的线性方程组如下
1.2 记住常见的 矩阵函数的维数的关系
1.3 需要求解的方程组和矩阵的对应关系，需要先厘清
1.3.1 如果只需要求解x，是类 Ax=b的形式
1.3.2 如果是x,y的联立方程组，是类 Ax=y的形式
1.4 方程组的解的可能有这几种情况：
1.5 线性方程组的解的几何情况（用3元线性方程组举例）
2 线性方程组的多种解法（至少这里有3种）
2.1 方法1：消元法/高斯消元法
2.2 方法2：根据克拉默法则用行列式求解
2.3 还一个扩展问题：如果方程组太多了，比变量还多怎么办?
2.4 有没有更简便的求解方程组的解的方法呢?
2.4.1 可以快速确定是否有解，解的个数
2.4.2 还可以解出具体的解
3 线性方程组用矩阵函数求解
3.1 线性方程组转化为矩阵函数形式
3.2 如何从矩阵的角度看，是否有解？
3.2.1 从函数和映射的角度看解的情况
3.2.2 那么从矩阵函数的角度看呢
4 齐次线性方程组 & 非齐次线性方程组
4.1 线性方程组分类
4.2 零空间 null(A)
5 齐次线性方程组 Ax=0 求解
5.1 用矩阵方法求解
5.2 如果直接用解方程的方法求解
6 非齐次线性方程组 Ax=b 求解
6.1 用矩阵方法求解
6.2 如果直接用解方程的方法求解
7 秩零定理
0 写在前面的一些内容
0.1 学习心得：
在学习过程中，确实会遇到不懂得，像我这种喜欢追问的，遇到不懂的问题，还会继续追问挖起一串。但是这时候就要想到“学而不思则罔，思维不学则殆”。不要因此偏离了主要方向和过于浪费时间应该，先了解，知识里现在的内容是“怎么样的”也就是“怎么展开的，这个逻辑梳理清楚”，学到一定阶段了再回头去思考之前没搞懂的问题。弄清楚了“怎么是这样” ，再去思考“为什么”，后来再回头看有疑问的效率会高很多。这也是一种分步骤思考问题的严密逻辑问题从哲学上说，人的思考绝对不可能从绝对的起源点开始，只能是在一些相对的中间节点出发，当做起点起推导
0.2 参考其他书籍总结的知识点，对照学习
1 线性方程组求解
1.1 常见的线性方程组如下
如下图的线性方程组，如何求解呢？
或者可以变形为这样
1.2 记住常见的 矩阵函数的维数的关系
Ax=y记住常见的 矩阵函数的维数的关系，对于理解矩阵函数求解很重要矩阵Am*n， 而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm]
矩阵A是 m*n（有可能没满秩）自变量X的维度是n, Xn*1=[x1,x2....xn] 因变量y(或b)维度是m ，Ym*1= bm*1=[b1,b2....bm]
1.3 需要求解的方程组和矩阵的对应关系，需要先厘清
1.3.1 如果只需要求解x，是类 Ax=b的形式
Ax=b因为这里只是 多个一元方程组，所以可以这么算要注意，矩阵Am*n * 列向量Xn*1得到的是 b m*1的列向量其中列向量X的维度是n而 列向量b 的维度是m x1,x2 但是 b1,b2,b3
1.3.2 如果是x,y的联立方程组，是类 Ax=y的形式
Ax=y因为联立二元方程组，需要 同样多的x和y必须要求矩阵是A nn，也就是矩阵A必须是方阵要注意，矩阵Ann * 列向量Xn1得到的是 b n1的列向量其中列向量X的维度是n而 列向量y/b的维度是n x1,x2,x3 同时 y1,y2,y3
1.4 方程组的解的可能有这几种情况：
无解有解
无数解唯一解
1.5 线性方程组的解的几何情况（用3元线性方程组举例）
比如3元线性方程组，其解其实就是这3根直线的交点，就是解
无解的情况
无解： 三线平行无解：三线不相交于一点
有解
有唯一解：三线相交于一点有无数解：三条线重叠
2 线性方程组的多种解法（至少这里有3种）
消元法求解行列式求解矩阵函数求解
2.1 方法1：消元法/高斯消元法
消元法，就是普遍知道的解方程的方法问题是，当线性方程组的变量元越多，方程组越多，就会越复杂。。。
2.2 方法2：根据克拉默法则用行列式求解
理论上根据克拉默法则，下面这些都可以直接用克拉默法则求解
2阶的线性方程组3阶的线性方程组4阶的线性方程组 .....但是实际上，高阶的行列式求解也够复杂。。。
2.3 还一个扩展问题：如果方程组太多了，比变量还多怎么办?
我们解题时，往往是方程组和变量元，刚刚好一样多，但是现实中，往往不是信息太少，就是信息太多
如果信息太少，如方程组里的方程数量太少：无法求解如果信息太多，方程组里的方程数量多于变量，甚至远多于，该怎么办？
这可能就需要用到线性回归了， y=ax+b+ε 因为信息量太多，能求出很多组解开，但是不能求准确解，而是要求近似解而让ε 足够小，就可以求出尽量最近似的解
2.4 有没有更简便的求解方程组的解的方法呢?
答案是有的
2.4.1 可以快速确定是否有解，解的个数
提前给结论，具体的内容在下面对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，也就是rank(A) =rank(B)那么就有解对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，并且
rank(A) =rank(B)=n ，就有唯一解rank(A) =rank(B) 2.4.2 还可以解出具体的解 详细见下面的内容 3 线性方程组用矩阵函数求解 3.1 线性方程组转化为矩阵函数形式 线性方程组可以转化为矩阵函数形式 step1： step2： 矩阵函数 A*x=y （或者Ax=b）step3： step4： 3.2 如何从矩阵的角度看，是否有解？ 3.2.1 从函数和映射的角度看解的情况 是否有解：就是 Ax=b (或者Ax=y)，是否有x与b对应（映射），即b落入了x的值域解的个数：就是 Ax=b (或者Ax=y)，有多少个x与b对应解的集合：就是 Ax=b中，与b对应的具体的x是哪些 3.2.2 那么从矩阵函数的角度看呢 矩阵函数 Ax=y 那么定义域就是x的取值范围值域=y=Ax定理：矩阵函数Ax=y, 当定义域是自然定义域时，值域(就是y=Ax)就是Ax的列空间 所以 如果b（y） 落在Ax的形成的向量空间内，那就有解，否则无解 定理：矩阵函数Ax=y, 当定义域是自然定义域时，值域(就是y=Ax)就是Ax的列空间 Ax=矩阵左乘它所有可以进行左乘的向量，所得的结果组成的集合 因为Ax=y, 因为是 x 左乘A，所以A是基（A的列向量是基，比如c1,c2），而Ax 就是x经过A线性变换后形成的新的向量组(比如d1,d2)=也就是A的列向量(c1,c2)的线性组合，一定会落在A的列向量(c1,c2)构成的向量空间里。 而Ax=y作为值域，其实就是Ax的列向量，也就是 方程组的解就是Ax的列向量 一个矩阵A（m×n）的值域空间（列空间）是R^m的子空间，是A的列向量组所有线性组合的集合。该空间维数dim Col A等于A的秩Rank（A）。 3.2.3 怎么判断 b 落在Ax的形成的向量空间内呢? 定理 有解的判断 对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，也就是rank(A) =rank(B)那么就有解 Ax=y矩阵Am*n， 而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm]rank(x) =n 单个一维向量，不存在线性相关问题，所以 n 代表定义域X的秩rank(b)=m 单个一维向量，不存在线性相关问题因此，A的零空间 rank(A)<=min(m,n) ,rank(A) 代表值域的秩，因为值域 rank(b)=m其实被rank(A) 所决定。但是值域的秩，为啥不直接用 rank(b) 呢？而 rank(null(A)) 实际就是 rank(Ax=0），所以 rank(null(A))<=min(m,n) 解的个数的判断 对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，并且如果A是m*n的矩阵，其中n是X的秩。m，n 的相对大小不定，m (> or < or =) n rank(A) =rank(A|b)=n (n=rank(X)=A满秩时列向量个数) ，就有唯一解 rank(A) =rank(A|b) 满秩矩阵有唯一解 4 齐次线性方程组 & 非齐次线性方程组 4.1 线性方程组分类 齐次线性方程组 Ax=0 非齐次线性方程组 Ax=b 4.2 零空间 null(A) 齐次线性方程组 Ax=0，其实就对应了 零空间 null(A) 零空间是在线性映射（即矩阵）的背景下出现的，指：像为零的原像空间，即{x| Ax=0}。在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核，核空间。如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间。 5 齐次线性方程组 Ax=0 求解 5.1 用矩阵方法求解 具体举个例子,下面是具体计算步骤 , 线性变换 x本身展开就是(x1,x2)令k=x2向量 是一个点，但是 就是一条用k来线性变换（伸缩这个列向量）最终形成的1条直线，在二维图会等价于 x2=-x1（或y=-x）的一条直线因为k是实数，因此，解集就是 张成的张成空间，这里本质是一条线。所以有无数个解 5.2 如果直接用解方程的方法求解 得到的答案也是一样的但是方程组比较多比较复杂的时候，矩阵求起来可能方便点吧？ 6 非齐次线性方程组 Ax=b 求解 6.1 用矩阵方法求解 解法类似 比如求解 具体例子 。。。。解法类似，省略 ，其中 是 特解，而 是零空间null(A)零空间null(A) 就是类这个非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的解从几何上就是把 平移了 的距离解集就是过特解 且与零空间平行的一条直线 6.2 如果直接用解方程的方法求解 得到的答案也是一样的但是方程组比较多比较复杂的时候，矩阵求起来可能方便点吧？ 7 秩零定理 Ax=y矩阵Am*n， 而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm] rank(x) =n 单个一维向量，不存在线性相关问题，所以 n 代表定义域X的秩rank(b)=m 单个一维向量，不存在线性相关问题因此，A的零空间 rank(A)<=min(m,n) ,rank(A) 代表值域的秩，因为值域 rank(b)=m其实被rank(A) 所决定。但是值域的秩，为啥不直接用 rank(b) 呢？而 rank(null(A)) 实际就是 rank(Ax=0），所以 rank(null(A))<=min(m,n) 形式1 rank(值域)+rank(null(A)) = rank(定义域)rank(A)+rank(null(A))=n 形式2 rank(定义域)>=rank(值域)rank(定义域)-rank(null(A))=rank(值域)n-rank(null(A))=rank(A)